Question

12．如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，若CF平分AD，AB=2，求CD的长．

Answer 1

分析 ⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，则CD=2CE；在直角△OED中，易证∠ODC=30°，就可以求出DE的长，进而求出CD的长．

解答 解：在△AOF和△COE中，
∠AFO=∠CEO=90°，
∠AOF=∠COE，所以∠A=∠C，
连接OD，则∠A=∠ODA，∠C=∠ODC，
所以∠A=∠ODA=∠ODC，
因为∠A+∠ODA+∠ODC=90°，
所以∠ODC=30°，
所以DE=OD×cos30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
CD=2DE=$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，求出∠ODC=30°是解决本题的关键．