Question

2．平面直角坐标系中，将抛物线y=ax²经平移后与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若$\frac{{{S_{△AOC}}}}{{{S_{△BOC}}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，则称平移后的抛物线所在的位置为抛物线y=ax²在该平面直角坐标系中的一个“黄金位”．如图所示的抛物线为抛物线y=ax²的一个“黄金位”，且AB=2，将图中的抛物线向右平移$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$个单位长度又可得到抛物线y=ax²的另一个“黄金位”．

Answer 1

分析 设OB=x，利用面积公式得到OA：OB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则OA=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x，再利用AB=2列方程$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+x=2，解得x=$\sqrt{5}$-1，所以OA=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，若将图中的抛物线向右平移，则点A在y轴右侧，此时OB-OA=2，所以x-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x=2，解得x=3+$\sqrt{5}$，此时OA的长为$\sqrt{5}$+1，然后计算$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$+$\sqrt{5}$+1即可．

解答 解：设OB=x，
∵$\frac{{{S_{△AOC}}}}{{{S_{△BOC}}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
∴OA：OB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x，
∵AB=2，
∴$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+x=2，解得x=$\sqrt{5}$-1，
∴OA=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
将图中的抛物线向右平移，则点A在y轴右侧，此时OB-OA=2，
即x-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x=2，解得x=3+$\sqrt{5}$，
∴此时OA的长为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（3+$\sqrt{5}$）=$\sqrt{5}$+1，
∴将图中的抛物线向右平移$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$+$\sqrt{5}$+1=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$个单位长度又可得到抛物线y=ax²的另一个“黄金位”．
故答案为$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．