Question

1．已知a+b+c=0，a²+b²+c²=4，那么a⁴+b⁴+c⁴的值等于8．

Answer 1

分析 据完全平方和公式展开（a+b+c）²，然后将a+b+c=0，a²+b²+c²=1整体代入来求ab+bc+ca的值；根据完全平方和公式展开（a+b+c）⁴，然后将a+b+c=0，ab+bc+ca=-2整体代入来求a⁴+b⁴+c⁴的值．

解答 解：∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）²=0，即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=0，
∴a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）=0，①
∵a²+b²+c²=4，②
把②代入①，得
4+2（ab+bc+ca）=0，
解得，ab+bc+ca=-2；
∵a⁴+b⁴+c⁴=（a²+b²+c²）²-2（a²b²+b²c²+c²a²）=（a²+b²+c²）²-2[（ab+bc+ac）²-2abc（a+b+c）]，
ab+bc+ca=-2，a+b+c=0，
∴a⁴+b⁴+c⁴
=16-2×[（-2）²-0]
=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了完全平方公式，难度较大，关键是正确利用条件变形为完全平方的形式，再进行求解．