Question

17．如图，直线OA：y=$\frac{1}{3}$x与直线AB：y=kx+b相交于点A（9，3），点B坐标为（0，12）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）点P是线段OA上任意一点（不与点O，A重合），过点P作PQ∥y轴，交线段AB于点Q，分别过P，Q作y轴的直线，垂足分别为M，H，得矩形PQHM．如果矩形PQHM的周长为20，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得直线解析式；
（3）先设点P的横坐标为m，再根据直线解析式求得点P、Q的纵坐标，进而得出PQ的长，最后根据矩形的周长为20，列出关于m的方程，求得m的值即可．

解答 解：（1）∵直线y=kx+b过点A（9，3），点B（0，12），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=3}\\{b=12}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直线AB的表达式为：y=-x+12；

（2）设点P的横坐标为m，则PH=m，
∵PQ∥y轴，
∴点Q的横坐标为m，
∵点P在直线OA：y=$\frac{1}{3}$x上，点Q在直线AB：y=-x+12上，
∴点P的纵坐标为$\frac{1}{3}$m，点Q的纵坐标为-m+12，
∴PQ=-m+12-$\frac{1}{3}$m=12-$\frac{4}{3}m$，
又∵矩形PQHM的周长为20，
∴PQ+PM=10，
∴12-$\frac{4}{3}m$+m=10，
解得m=6，$\frac{1}{3}$m=2，
∴点P的坐标为（6，2）．

点评 本题主要考查了两直线相交的问题，解题时注意：运用待定系数法求一次函数y=kx+b，需要两组x，y的值；直线y=kx+b上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．