Question

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB于D，点P为AB边上一动点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）若n=2，则$\frac{CE}{BF}$=$\frac{1}{2}$；
（2）当n=3时，连EF、DF，求$\frac{EF}{DF}$的值；
（3）若$\frac{EF}{DF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，那么CEPF就是个矩形．得到CE=PF从而不难求得CE：BF的值；
（2）可通过构建相似三角形来求解；
（3）可根据（2）的思路进行反向求解，即先通过EF，DF的比例关系，求出DE：DF的值．也就求出了CE：BF的值即tanB=AC：BC的值．

解答 解：（1）∵∠ACB=90?，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形．
∴CE=PF．
∴CE：BF=PF：BF=tanB=AC：BC=$\frac{1}{2}$．
故答案是：$\frac{1}{2}$．

（2）连DE，∵∠ACB=90°，PE⊥CA，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形．
∴CE=PF．
∴CE：BF=CD：BD=PF：BF=tanB．
∵∠ACB=90?，CD⊥AB，
∴∠B+∠A=90°，∠ECD+∠A=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴△CED∽△BFD．
∴∠EDC=∠FDB．
∵∠FDB+∠CDF=90°，
∴∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠EDF=90°．
∵$\frac{DE}{DF}$=tanB=$\frac{1}{3}$，设DE=a，DF=3a，
在直角三角形EDF中，根据勾股定理可得：EF=$\sqrt{10}$a．
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{\sqrt{10}a}{3a}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$．

（3）可根据（2）的思路进行反向求解，即先通过EF，DF的比例关系，求出DE：DF的值．也就求出了CE：BF的值，即tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了相似综合题，通过相似三角形将所求线段之间的比例关系同已知的线段间的比例关系联系在一起是解题的关键．