Question

如图①，已知直线y=x+b与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，抛物线y=ax²+2ax+c过点C、A，且与x轴交于另一点B．
（1）求直线与抛物线的函数关系式及点B的坐标；
（2）若点P为抛物线上一动点，且点P位于直线AC上方，连结PA，PC，求△APC的面积的最大值；
（3）如图②，将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴的下方，与原抛物线没有变化的部分构成一个新图象，过点B作直线l与新图象交于另外的两点M、N（点M在点N的左侧），是否存在这样的直线l，使得△ABM的面积被AN恰好平分？若存在，请求出直线l的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线y=x+b过点C（0，3），可得b=3，求直线的函数关系式，从而得到A（-3，0），再将A，C两点的坐标代入抛物线y=ax²+2ax+c，可得c=3，a=-1，从而得到抛物线的函数关系，进一步得到抛物线与x轴另一交点B（1，0）．
（2）设P（p，-p²-2p+3），-3＜p＜0，直线x=p交AC：y=x+3于D（p，p+3），根据三角形面积公式得到S_△APC=

1

2

DP（x_C-x_A）=

3

2

（-p²-3p）=（-

3

2

（p+

3

2

）²+

27

8

，从而得到△APC的面积的最大值．
（3）设直线l：y=k（x-1）②，代入①，x²+（k+2）x-k-3=0，解得x=1或-k-3，将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴的下方，得到抛物线y=x²+2x-3（-3＜x＜0）③，把②代入③得，x²+（2-k）x+k-3=0，解得x=1或k-3，∴x_N=k-3，根据△ABM的面积恰好被AN平分，可得MN=NB，得到关于k的方程，解方程即可求得直线l的函数关系式．

解答：解：（1）直线y=x+b过点C（0，3），
∴b=3，
故直线的函数关系式为y=x+3，
它与x轴交于点A（-3，0），
抛物线y=ax²+2ax+c过A，C，
∴c=3，
0=3a+3，
解得a=-1．
∴抛物线的解析式是y=-x²-2x+3①，
它与x轴交于另一点B（1，0）．
（2）设P（p，-p²-2p+3），-3＜p＜0，
直线x=p交AC：y=x+3于D（p，p+3），
∴S_△APC=

1

2

DP（x_C-x_A）=

3

2

（-p²-3p）=（-

3

2

（p+

3

2

）²+

27

8

，
∴△APC的面积的最大值是

27

8

．
（3）设直线l：y=k（x-1）②，
代入①，x²+（k+2）x-k-3=0，
解得x=1或-k-3，
∴x_M=-k-3，
将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴的下方，得到抛物线y=x²+2x-3（-3＜x＜1）③，
把②代入③得，x²+（2-k）x+k-3=0，
解得x=1或k-3，
∴x_N=k-3，
△ABM的面积恰好被AN平分，
∴MN=NB，
∴k-3-（-k-3）=1-（k-3），
2k=4-k，
解得k=

4

3

．
故直线l的函数关系式是y=

4

3

x-

4

3

．

点评：考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求直线与抛物线的函数关系式，三角形的面积，函数的最值，折叠的性质，方程思想的运用，综合性较强，有一定的难度．