Question

若a，b，c为两两不等的有理数．求证：

1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2

为有理数．

Answer 1

分析：由题意可设x=

1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2

，然后对其两边平方，根据二次根式的性质对其进行化简证明．

解答：证明：设x=

1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2

，x2=

1

(a-b)2

+

1

(b-c)2

+

1

(c-a)2

由于[

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

]2

= 1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2 +2[ 1 (a-b)(b-c) + 1 (b-c)(c-a) + 1 (c-a)(a-b) ] = 1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2 +2[ (c-a)+(a-b)+(b-c) (a-b)(b-c)(c-a) ] = 1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2

∴x2=[

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

]2
∴x=|

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

|
即

1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2

=|

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

|
∴当a，b，c为两两不等的有理数时，|

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

|是有理数．

点评：此题主要考查二次根式的性质与化简，要注意二次根式根号里面要为非负数，此题是一道难度较大的题．