Question

（2009•姜堰市二模）如图，小岛C位于港口A北偏东60°方向；一艘科学考察船从港口A出发以20海里每小时的速度向正东方向行驶，1小时后到达B处测得小岛C在北偏东30°方向，然后继续航行；在科学考察船从A港出发的同时一快艇在小岛C用1小时补给物资后，立即以60海里/小时的速度给考察船送去．
（1）求艘科学考察船一直向正东方向航行过程中，离C岛的最近距离是多少海里；
（2）快艇从小岛C出发后最少需多少小时才能和考察船相遇（结果保留根号）？

Answer 1

【答案】分析：（1）过点C作CD⊥AD于点D，分别在Rt△CBD、Rt△ACD中用式子表示CD从而求得CD的长；
（2）设需要t小时，用特殊角的三角函数值可求出BD的长，在Rt△CDE中用勾股定理可以得到关于时间t的方程，求出t的值．
解答：解：（1）过点C作CD⊥AD于点，则CD是离C岛的最近距离，
∵∠EAC=60°，∠FBC=30°，
∴∠CAD=60°，∠CBD=60°，
∴在Rt△CBD中，CD=BD；
在Rt△ACD中，AD=CD=20+BD=3BD，
∴BD=10，
∴CD=10；

（2）设需要t小时，则CE=60t，BE=20t，
∵∠FBC=30°，∴∠1=60°；
由（1）知CD=10，故BD===10海里，
故DE=BE-BD=20t-10，
在Rt△CDE中，CD²+DE²=CE²，
即（10）²+（20t-10）²=（60t）²，
解得t₁=（舍去），t₂=；
快艇从小岛C出发后最少需小时才能和考查船相遇．
点评：此题是方向角问题在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答．