Question

设H是等腰三角形ABC的垂心．在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小，问这时乘积S_△ABC•S_△HBC的值变大？变小？还是不变？证明你的结论．

Answer 1

考点：切割线定理,菱形的判定与性质

专题：证明题,几何综合题

分析：构造以垂心为顶点的菱形HBGC（图），并借助于四点共圆是完成本题的一条捷径．

解答：证明：延长HD至G，使DG=HD，连BH、CH、BG、CG，易证四边形HBGC是菱形，则∠3=∠1．
因H是垂心，
故A、B、D、E四点共圆，∠1=∠2，
从而∠2=∠3，A、B、G、C四点共圆，AD•DG=BD•CD，
又DG=HD，
故AD•HD=

1

4

BC2．
从而S_△ABC•S_△HBC=

1

2

•AD•BC•

1

2

HD•BC=

1

16

BC4（定值）．

点评：本题考查的是切割线定理，菱形的判定和性质，三角形的面积．