题目内容
20．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．
（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）
分析 （1）根据已知求出EN，根据正切的概念求出EM，求差得到答案；
（2）根据坡度和锐角三角函数的概念求出截面积和土石方数，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．
解答 解：（1）在Rt△PEN中，∵∠PNE=45°，
∴EN=PE=30米，
在Rt△PEM中，∠PME=31°，tan∠PME=$\frac{PE}{ME}$，
∴ME=$\frac{PE}{tan31°}$≈50（米），
∴MN=EM-EN=20米，
答：两渔船M，N之间的距离约为20米；
（2）过点F作FK∥AD交AH于点K，过点F作FL⊥AH交直线AH于点L，
则四边形DFKA为平行四边形，
∴∠FKA=∠DAB，DF=AK=3，
由题意得，tan∠FKA=tan∠DAB=4，tan∠H=$\frac{2}{3}$，
在Rt△FLH中，LH=$\frac{FL}{tan∠H}$=36，
在Rt△FLK中，KL=$\frac{FL}{tan∠FKA}$=6，
∴HK=30，AH=33，
梯形DAHF的面积为：$\frac{1}{2}$×DL×（DF+AH）=432，
所以需填土石方为432×100=43200，
设原计划平均每天填x立方米，由题意得，
12x+（$\frac{43200}{x}$-12-20）×1.5x=43200，
解得，x=600，
经检验x=600是方程的解．
答：原计划平均每天填筑土石方600立方米．
点评 本题考查的是解直角三角形和分式方程的应用，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的一般步骤、根据题意正确列出分式方程是解题的关键，注意分式方程解出未知数后要验根．
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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如图，BD是等腰Rt△ABC斜边AC上的高，AE平分∠BAC，交BC于点E，交BD于点F．求证：CE=2DF．
如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AD上．
15．
如图，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，DC切圆O于C，若∠A=25°．则∠D等于（ ）
如图，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，DC切圆O于C，若∠A=25°．则∠D等于（ ）| A． | 40° | B． | 50° | C． | 60° | D． | 70° |
5．-64的立方根与$\sqrt{81}$的平方根之和是（ ）
| A． | -7 | B． | -1或-7 | C． | -13或5 | D． | 5 |