如图.在坐标系中.菱形ABCD的边BC与x轴重合.点B与原点重合.AB=10.∠ABC=60°．动点P从点B出发沿BC边以每秒1个单位长的速度匀速运动,动点Q从点D出发沿折线DC-CB-BA以每秒3个单位长的速度匀速运动.过点P作PF⊥BC.交折线AB-AC于点E.交直线AD于点F．若P.Q两点同时出发.当其中一点到达终点时整个运动随之停止.设运动时间为t秒� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，在坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴重合，点B与原点重合，AB=10，∠ABC=60°．动点P从点B出发沿BC边以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点Q从点D出发沿折线DC-CB-BA以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点P作PF⊥BC，交折线AB-AC于点E，交直线AD于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒．
（1）写出点A与点D的坐标；
（2）当t=3秒时，试判断QE与AB之间的位置关系？
（3）当Q在线段DC上运动时，若△PQF为等腰三角形，求t的值；
（4）设△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式．

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：（1）由AB=10，∠ABC=60°利用三角函数即可求得点A的坐标，再根据四边形ABCD是菱形，AD=AB=10，即可得点D的坐标；
（2）过A作AM∥EQ，得BE=6，AE=10-6=4，DM=3×3-4=5，DM=

1

2

AD，又因为∠ADC=60°，所以∠AMD=90°，∠AEQ=90°，所以EQ⊥AB；
（3）P点坐标为（t，0），F坐标为（t，5

3

），Q（

30-3t

2

，

10

3

-3

3t

2

），再分三种情况讨论；
（4）分0＜t≤

10

3

时，

10

3

＜t≤5时，5＜t≤6时，6＜t≤

20

3

，

20

3

＜t≤10，五种情况讨论．

解答：解：（1）∵10×sin60°=5

3

，10×cos60°=5，
∴A（5，5

3

）．
∵四边形ABCD是菱形，AD=AB=10，
∴D（15，5

3

）；
（2）当t=3时，EQ⊥AB，
过A作AM∥EQ，

∵BP=3时，∠B=60°，
∴BE=6，
∴AE=10-6=4，
∴AF=QM=4，
∴DM=3×3-4=5，
∴DM=

1

2

AD，
又∵∠ADC=60°，
∴∠AMD=90°，
∴∠AEQ=90°，
∴EQ⊥AB；
（3）P点坐标为（t，0），F坐标为（t，5

3

），Q（

30-3t

2

，

10

3

-3

3t

2

）
①当FQ=PQ时，t=

5

3

；
②当PF=FQ时，

(t-

30-3t

2

)2+(5

3

-

10

3

-3

3t

2

)2

=5

3

，该方程无解；
③当PF=PQ时

(t-

30-3t

2

)2+(0-

10

3

-3

3t

2

)2

=5

3

，
∴t₁=

60+15

3

13

（舍），t₂=

60-15

3

13

，
∴当t=

5

3

或

10

13

或

60-15

3

13

时，△PQF为等腰三角形；
（4）0＜t≤

10

3

时，
S=10×5

3

-

10-2t+3t

2

×5

3

-

t×2t•sin60°

2

-

(10-t)(10-3t)•sin60°

2

=-

5

3

4

t2+

15

3

2

t，

10

3

＜t≤5时，
S=

10×5

3

2

-

t×2t×•sin60°

2

-

(10-t)(3t-10)×sin60°

2

-

(10-2t)(20-3t)×sin60°

2

=

5

3

4

t2+

15

3

2

t+25

3

5＜t≤6时，
S=

(10-t)(20-2t)×sin60°

2

×

20-2t(3t-10)

20-2t

=

5

3

4

t2-20

3

t+75

3

6＜t≤

20

3

，
S=

(10-2t)(3t-10)×sin60°

2

-

(10-t)(3t-10)

20-2t

×sin60°=2

3

t2+

45

3

2

t-75

3

20

3

＜t≤10，
S=

50

3

2

-

(10-t)(20-2t)sin60°

2

-

(3t-20)(2t-10)sin60°

2

-

(30-3t)t×sin60°

2

=-

3

4

t2+25

3

点评：本题主要考查了菱形的性质，三角函数的应用，点的坐标．以及动点问题的函数和分类讨论思想，综合性较强比较难．

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