题目内容

如图，在坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴重合，点B与原点重合，AB=10，∠ABC=60°．动点P从点B出发沿BC边以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点Q从点D出发沿折线DC-CB-BA以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点P作PF⊥BC，交折线AB-AC于点E，交直线AD于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒．
（1）写出点A与点D的坐标；
（2）当t=3秒时，试判断QE与AB之间的位置关系？
（3）当Q在线段DC上运动时，若△PQF为等腰三角形，求t的值；
（4）设△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式．
考点：四边形综合题
专题：压轴题
分析：（1）由AB=10，∠ABC=60°利用三角函数即可求得点A的坐标，再根据四边形ABCD是菱形，AD=AB=10，即可得点D的坐标；
（2）过A作AM∥EQ，得BE=6，AE=10-6=4，DM=3×3-4=5，DM=
1
2
AD，又因为∠ADC=60°，所以∠AMD=90°，∠AEQ=90°，所以EQ⊥AB；
（3）P点坐标为（t，0），F坐标为（t，5
3
），Q（
30-3t
2
，
10
3
-3
3t
2
），再分三种情况讨论；
（4）分0＜t≤
10
3
时，
10
3
＜t≤5时，5＜t≤6时，6＜t≤
20
3
，
20
3
＜t≤10，五种情况讨论．
解答：解：（1）∵10×sin60°=5
3
，10×cos60°=5，
∴A（5，5
3
）．  
∵四边形ABCD是菱形，AD=AB=10，
∴D（15，5
3
）；
（2）当t=3时，EQ⊥AB，
过A作AM∥EQ，

∵BP=3时，∠B=60°，
∴BE=6，
∴AE=10-6=4，
∴AF=QM=4，
∴DM=3×3-4=5，
∴DM=
1
2
AD，
又∵∠ADC=60°，
∴∠AMD=90°，
∴∠AEQ=90°，
∴EQ⊥AB；
（3）P点坐标为（t，0），F坐标为（t，5
3
），Q（
30-3t
2
，
10
3
-3
3t
2
）
①当FQ=PQ时，t=
5
3
；
②当PF=FQ时，
(t-
30-3t
2
)2+(5
3
-
10
3
-3
3t
2
)2
=5
3
，该方程无解；
③当PF=PQ时
(t-
30-3t
2
)2+(0-
10
3
-3
3t
2
)2
=5
3
，
∴t1=
60+15
3
13
（舍），t2=
60-15
3
13
，
∴当t=
5
3
或
10
13
或
60-15
3
13
时，△PQF为等腰三角形；
（4）0＜t≤
10
3
时，
S=10×5
3
-
10-2t+3t
2
×5
3
-
t×2t•sin60°
2
-
(10-t)(10-3t)•sin60°
2
=-
5
3
4
t2+
15
3
2
t，
10
3
＜t≤5时，
S=
10×5
3
2
-
t×2tוsin60°
2
-
(10-t)(3t-10)×sin60°
2
-
(10-2t)(20-3t)×sin60°
2

=
5
3
4
t2+
15
3
2
t+25
3

5＜t≤6时，
S=
(10-t)(20-2t)×sin60°
2
×
20-2t(3t-10)
20-2t
=
5
3
4
t2-20
3
t+75
3

6＜t≤
20
3
，
S=
(10-2t)(3t-10)×sin60°
2
-
(10-t)(3t-10)
20-2t
×sin60°=2
3
t2+
45
3
2
t-75
3

20
3
＜t≤10，
S=
50
3
2
-
(10-t)(20-2t)sin60°
2
-
(3t-20)(2t-10)sin60°
2
-
(30-3t)t×sin60°
2

=-
3
4
t2+25
3
点评：本题主要考查了菱形的性质，三角函数的应用，点的坐标．以及动点问题的函数和分类讨论思想，综合性较强比较难．
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