Question

17．如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
（4）点P为抛物线上一动点，点Q为x轴上是动点，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）先确定直线BC的解析式，设M（m，-m+3），则N（m，-m²+2m+3），则可用m表示出MN；
（3）利用三角形面积公式得到S_△BNC=$\frac{1}{2}$•MN•3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m，然后根据二次函数的性质求解；
（3）分类讨论：若AQ为对角线时，利用点P和点C点的纵坐标互为相反数得到P点的总坐标为-3，然后解方程-x²+2x+3=-3可得到P点坐标；若AQ为边时，则CP∥x轴，所以点P和点C点的纵坐标相等，然后解方程-x²+2x+3=3渴得到P点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
（2）直线BC的解析式为y=-x+3，
设M（m，-m+3），则N（m，-m²+2m+3），
∴MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m（0＜m＜3）；
（3）存在．
S_△BNC=$\frac{1}{2}$•MN•3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，△BNC的面积最大，最大值为$\frac{27}{8}$；
（4）若AQ为对角线时，点P和点C点的纵坐标互为相反数，
当y=-3时，-x²+2x+3=-3，
解得x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1-$\sqrt{7}$，此时P点坐标为（1+$\sqrt{7}$，-3），（1-$\sqrt{7}$，-3）
若AQ为边时，CP∥x轴，则点P和点C点的纵坐标相等，
当y=3时，-x²+2x+3=3，
解得x₁=0，x₂=2，此时P点坐标为（2，3），
综上所述，P点坐标为（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）或（2，3）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握平行四边形的判定、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质．