Question

如图所示，在一块底边长为30厘米，高为20厘米的三角形铁片上剪下一块最大面积的内接矩形，并使它的一边在底边上．如何设计才能使矩形面积最大，并且求出最大面积．

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的最值

专题：

分析：作CK⊥AB于点K交GF于点H，得到△CGF∽△CAB，从而利用相似三角形的对应边的比相等得到比例式表示出矩形的长和宽，从而列出有关x的二次函数求得最值即可．

解答：解：如图：作CK⊥AB于点K交GF于点H，
∵四边形GFED为矩形，
∴GF∥AD，
∴△CGF∽△CAB，
∴CH：CK=GF：AB，
由题意得：AB=30cm，CK=20cm，
设GD=x厘米，
则HK=xcm，CH=20-xcm，
∴20-x：20=GF：30，
∴GF=

3

2

（20-x），
∴矩形GFED的面积=x×

3

2

（20-x）=-

3

2

x²+30x=-

3

2

（x-10）²+150，
∴GF=

3

2

（20-x）=15cm，
∴矩形的长为15，宽为10cm时面积最大，为150cm²．

点评：此题主要考查了相似三角形的应用及二次函数的最值，根据题意得出△AFG∽△ABC是解题关键．