Question

已知a、b、c都是整数，求证：若长度为a、b、c的线段可构成一个三角形，则对一切满足p+q=1的实数，都有pa²+qb²＞pqc²．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：当p+q=1时，可得q=1-p，代入pa²+qp²-pqc²后转化为c²p²+（a²-b²-c²）p+b²，看作关于x的二次函数，求出△的表达式，然后分两种情况讨论：（1）若长度为a、b、c的线段可能构成三角形；（2）对一切满足p+q=1的实数，都有pa²+qb²＞pqc²．然后进行推理解答．

解答：证明：p+qq=1时p+qq=1时，
pa²+qp²-pqc²=pa²+（1-p）b²-p（1-p）c²=c²p²+（a²-b²-c²）p+b²，
二次函数f（x）=c²p²+（a²-b²-c²）p+b²
△=（a²-b²-c²）²-4c²b²
=（a²-b²-c²+2bc）（a²-b²-c²-2bc）
=（a+b-c）（a-b+c）（a+b+c）（a-b-c）
（1）若长度为a、b、c的线段可能构成三角形，从而有a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b．
∴△＜0．
又∵c²＞0，抛特线开口向上．
∴f（p）＞0．即p+q=1时，pa²+qp²-pqc²＞0．
∴pa²+qp²＞pqc²
（2）对一切满足p+q=1的实数，都有pa²+qp²＞pqc²．即f（p）=c²p²+（a²-b²-c²）p+b²＞0 成立．
所以二次函数f（x）=c²x²+（a²-b²-c²）p+b²的图象在x轴上方．
故△=（a+b-c）（a-b+c）（a+b+c）（a-b-c）＜0
由于a＞0，b＞0，c＞0．a+b+c＞0，
所以（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）＞0①
不失一般性，不妨设a≥b≥c＞0，显然
a+b-c＞0，c+a-b＞0．
由①知必有  b+c-a＞0
所以长度为a、b、c的线段可以构成一个三角形．

点评：本题考查了三角形的边角关系，将原式转化为关于x的二次函数再进行讨论．本题难度较大，将图形问题转化为函数问题是解题的关键．