Question

如图1，点G、F分别是等腰△ABC、等腰△ADE底边的中点，∠BAC＝∠DAE＝∠，点P是线段CD的中点．试探索：∠GPF与∠的关系，并加以证明．

说明：⑴如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写3步）；

⑵在你完成⑴之后，可以从如图2，如图3中选取一个图，完成解答（选取图2得10分；选取图3得5分）．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

∠GPF=180º－∠α．证明：连结BD，连结CE．

∵AB=AC、AD=AE，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE．

∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，

∴PG∥BD，PF∥CE．

∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，

∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180º－∠BAC=180º－∠α，

即∠GPF=180º－∠α.

写探索过程要步步有据，写两步得1分，写三步得2分．

选取图2证明：

连结BD，连结CE．

∵AB=AC、AD=AE，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE．

设BD与CE交于点O，AC与BD交于点K，∠AKB=∠CKO，

∴∠BOC=∠BAC，∠COD=180º－∠α．

∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，

∴PG∥BD，PF∥CE．

∴∠GPC=∠BDC，∠DPF=∠DCE，

∠GPF=180º－∠GPC－∠DPF=180º－∠BDC－∠DCE=∠COD，即∠GPF=180º－∠α.

选取图3证明：

∵AB=AC、AD=AE，∴BD=CE，∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，∴PG∥BD，PF∥CE．

∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD =180º－∠BAC=180º－∠α，

即∠GPF=180º－∠α.