Question

已知三整数a，b，c之和为13，且

b

a

=

c

b

，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值．

Answer 1

分析：设

b

a

=

c

b

=x，用a分别表示b、c，然后代入a+b+c=13，得到关于x的一元二次方程x²+x+1-

13

a

=0，并且此方程有有理根，即△≥0；所以有

52

a

-3≥0，则a为整数，△为完全平方数，所以1≤a≤16，一一试数得到a的最小值为1，最大值为16，分别解方程求x的值，得到对应的b、c．

解答：解：设

b

a

=

c

b

=x，则b=ax，c=ax²，由a+b+c=13化为a（x²+x+1）=13．
∵a≠0，
∴x²+x+1-

13

a

=0      ①
又因为a，b，c为整数，则方程①的解必为有理数．
即△=1-4（1-

13

a

）=

52

a

-3＞0，
解得1≤a＜

52

3

，且

△

为有理数．
故1≤a≤16
当a=1时，方程①化为x²+x-12=0．
解得x₁=-4，x₂=3，
故a_min=1，b=-4，c=16；a_min=1，b=3，c=9．
当a=16时，方程①化为x²+x+

3

16

=0．
解得x₁=-

3

4

，x₂=-

1

4

．
故a_max=16，b=-12，c=9；a_max=16，b=-4，c=1．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．这里要构建一元二次方程；同时也考查了整除的性质和一元二次方程的解的方法．