用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果如下:用1个单位量的水可洗掉蔬菜残留农药量的$\frac{1}{2}$.用水越多洗掉的农药量也越多.但总有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后.蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数y=$\frac{1}{{x}^{2}+c}$(1)试确定c的值.并写出两条上述函数的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果如下：用1个单位量的水可洗掉蔬菜残留农药量的$\frac{1}{2}$，用水越多洗掉的农药量也越多，但总有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数y=$\frac{1}{{x}^{2}+c}$（x≥0）
（1）试确定c的值，并写出两条上述函数的性质；
（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．

分析（1）由题意x=0时，y=1，利用待定系数法可以求出c的值，由此即可解决问题．
（2）根据题意，可求出清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留农药量之比，进而可求把水平均分成两份后清洗两次后，蔬菜上残留的农药量与清洗前残留农药量之比，再进行比较大小．

解答解：（1）由题意x=0时，y=1，
∴1=$\frac{1}{0+c}$，
∴c=1，
性质①函数的图象在第一象限，性质②x＞1时，y随x的增大而减小．

（2）若是一次清洗，则：
农药量y=$\frac{1}{1+{a}^{2}}$，
若分为两次清洗，则：
第一次清洗后农药量y=$\frac{1}{1+（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{4+{a}^{2}}$，
第二次清洗后农药的量是y=$\frac{\frac{4}{4+{a}^{2}}}{1+（\frac{a}{2}）^{2}}$=（$\frac{4}{4+{a}^{2}}$）²．
∵$\frac{4}{4+{a}^{2}}$＜1，
∴（ $\frac{4}{4+{a}^{2}}$）²＜$\frac{4}{4+{a}^{2}}$．
所以可知当分两次清洗时，农药残留量均小于一次清洗．
所以应两次清洗．

点评本题考查反比例函数的应用、待定系数法，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，理解题意是解题的关键．