Question

8．如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．
（1）请探究线段BD与CE的数量关系．
（2）在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长CE、BA交于F点，根据BD平分∠ABC可得出∠1=∠2，再由等腰三角形的性质得出CF=2CE，根据AAS定理得出ADB≌△AFC，进而可得出结论；
（2）延长CE、AB交于点G，根据ASA定理得出△GBE≌△CBE故可得出∠D=∠G，再由相似三角形的判定得出△DAB∽△GAC，根据相似三角形的对应边成比例可得出结论．

解答 解：（1）BD=2CE．理由如下：
如图1，延长CE、BA交于F点，
∵CE⊥BD，交直线BD于E，
∴∠FEB=∠CEB=90°
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC．
∵BE⊥CF，
∴CF=2CE．
∵△ABC中，AC=AB，∠A=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠F=（180°-45°）÷2=67.5°，∠FBE=22.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∵在△ADB和△AFC中，$\left\{\begin{array}{l}∠ADB=∠F\\∠BAD=∠CAF\\ AB=AC\end{array}\right.$，
∴ADB≌△AFC（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE；

（2）结论BD=2CE仍然成立．理由如下：
如图2，延长CE、AB交于点G．
∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
在△GBE与△CBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{BE=BE}\\{∠GEB=∠CEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△GBE≌△CBE（ASA），
∴GE=CE，
∴CG=2CE．
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°，
∴∠D=∠G，
又∵∠DAB=∠GAC=90°，
∴△DAB∽△GAC，
∴$\frac{BD}{CG}=\frac{AB}{AC}$．
∵AB=AC，
∴BD=CG=2CE．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．