题目内容
如图，直角坐标系中，0是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是A（0，8），B（10，0），C（7，4），AD∥x轴，与直线BC交于点D，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿折线A-O-B的路线移动，移动的时间是t秒，设△ACP的面积是S．（1）求BC所在直线的解析式，并求出点D的坐标；
（2）请求出S与t的函数关系，并指出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，以P，B，C三点构成的三角形是等腰三角形？
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）利用待定系数法即可求解；
（2）当0≤t≤8时，t在OA上时，利用三角形的面积公式求解；
当8＜t≤18时，P在OB上，作CE⊥x轴于点E，根据S=S梯形AOEC-S直角△AOP-S直角△PCE求解；
（3）当点P在OA上时，PC=BC，当P在OB上时，分BP=BC和BP=BC三种情况进行讨论．
（2）当0≤t≤8时，t在OA上时，利用三角形的面积公式求解；
当8＜t≤18时，P在OB上，作CE⊥x轴于点E，根据S=S梯形AOEC-S直角△AOP-S直角△PCE求解；
（3）当点P在OA上时，PC=BC，当P在OB上时，分BP=BC和BP=BC三种情况进行讨论．
解答：解：（1）设直线BC的解析式是y=kx+b，
则
，
解得：
，
则直线BC的解析式是：y=-
x+
，
令y=8，则-
x+
=8，
解得：x=4，
则D的坐标是（4，8）；
（2）OA=8，当0≤t≤8时，t在OA上，
AP=t，则S=
AP•7=
x；
当8＜t≤18时，P在OB上，作CE⊥x轴于点E，则E的坐标是（7，0），CE=4，
则S梯形AOEC=
（OA+CE）×OE=
（8+4）×7=42，
在直角△AOP中，OP=x-8，
则S直角△AOP=
×8×（x-8）=4x-32，
直角△PCE中，PE=7-（8-x）=x-1，则S直角△PCE=
（x-1）×4=2x-2．
则S=S梯形AOEC-S直角△AOP-S直角△PCE=42-（4x-32）-（2x-2）=76-6x；
（3）BC=
=5，
当P在OA上时，设P的坐标是（0，m），此时，CP=BC，则72+（m-4）2=52，方程无解；
当P在OB上时，若BP=BC=5时，OP=10-5=5，则t=8+5=13；
当P在OB上时，若PC=BC，设P的坐标是（n，0），则52=（7-n）2+16，
解得：n=4或10（舍去）．则t=8+4=12．
总之，t=13或12时，以P，B，C三点构成的三角形是等腰三角形．
则
|
解得：
|
则直线BC的解析式是：y=-
| 4 |
| 3 |
| 40 |
| 3 |
令y=8，则-
| 4 |
| 3 |
| 40 |
| 3 |
解得：x=4，
则D的坐标是（4，8）；
（2）OA=8，当0≤t≤8时，t在OA上，
AP=t，则S=
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
当8＜t≤18时，P在OB上，作CE⊥x轴于点E，则E的坐标是（7，0），CE=4，
则S梯形AOEC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在直角△AOP中，OP=x-8，
则S直角△AOP=
| 1 |
| 2 |
直角△PCE中，PE=7-（8-x）=x-1，则S直角△PCE=
| 1 |
| 2 |
则S=S梯形AOEC-S直角△AOP-S直角△PCE=42-（4x-32）-（2x-2）=76-6x；
（3）BC=
| (10-7)2+42 |
当P在OA上时，设P的坐标是（0，m），此时，CP=BC，则72+（m-4）2=52，方程无解；
当P在OB上时，若BP=BC=5时，OP=10-5=5，则t=8+5=13；
当P在OB上时，若PC=BC，设P的坐标是（n，0），则52=（7-n）2+16，
解得：n=4或10（舍去）．则t=8+4=12．
总之，t=13或12时，以P，B，C三点构成的三角形是等腰三角形．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及三角形的面积的计算，正确分情况进行讨论是关键．
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