Question

6．已知：AB是⊙O的直径，C、E分别是⊙O上的点，连接AE、AC、CE、BC，∠AEC=45°．
（1）如图1，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，点F为弧BC上一点，连接AF，分别交BC、EC于点D，H，若弧CF=弧BE，求证：CE⊥AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DO、HO，AB交CE于点G，当∠ADC=∠BDG时，若OH=$\sqrt{2}$，求DG的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可知∠ACB=90°，从而可证明△ABC是等腰直角三角形；
（2）由于$\widehat{CF}$=$\widehat{BE}$，所以∠CAF=∠BAE，从而可证∠BCE=∠CAF，由于∠BCE+∠ACE=90°，所以∠CAH+∠ACH=90°，从而可知CE⊥AF；
（3）过点B作BK⊥CB于点B，交CE于点K，易证△ACD≌△CBK，BK=CD，∠BKG=∠ADC，从而易证△BGK≌△BDG，所以BK=DB，所D为CB中点，过点O作NO⊥OH交AH于点N，连接CO，
易证△ANO≌△CHO，从而可知△NOH是等腰直角三角形，因为OH=$\sqrt{2}$，所以由勾股定理可知：NH=2，CH=AN=NH=2，在等腰Rt△ACB中，tan∠HAG=$\frac{1}{3}$，所以HG=$\frac{4}{3}$，DH=1，从而可求出DG=$\frac{5}{3}$

解答 解：（1）在⊙O中，∠B=∠AEC=45°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
（2）∵$\widehat{CF}$=$\widehat{BE}$，
∴∠CAF=∠BAE
∴∠BCE=∠BAE，
∴∠BCE=∠CAF，
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴CE⊥AF
（3）由（2）得：过点B作BK⊥CB于点B，交CE于点K，
易证△ACD≌△CBK
∴BK=CD，∠BKG=∠ADC，
∵∠ADC=∠BDG，
∴∠BKG=∠BDG，
易证△BGK≌△BDG
∴BK=DB，
∴D为CB中点，
∴tan∠CAH=tan∠DCH=$\frac{1}{2}$
在△ACB中，过点O作NO⊥OH交AH于点N，连接CO，
易证△ANO≌△CHO，
∴CH=AN，ON=OH，
∴△NOH是等腰直角三角形，
∵tan∠CAH=$\frac{CH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
∴CH=$\frac{1}{2}$AH，
∴AN=NH，
∵OH=$\sqrt{2}$，
∴由勾股定理可知：NH=2，
∴CH=AN=NH=2
∴AH=4，
在等腰Rt△ACB中，
tan∠HAG=$\frac{1}{3}$，
∴HG=$\frac{4}{3}$，DH=1，
∴DG=$\frac{5}{3}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．