Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠BAE=30°，BE=2，CF=1．
（1）求△ECD的面积；
（2）若ED与AF交于G，求EG的长度．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BE，根据平行四边形的对边相等求出CD，再求出DF，然后求出△ABE和△ADF相似，根据相似三角形对应边成比例求出AD，从而得到BC，再求出EC，再利用勾股定理求出AE，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠CDE=30°，再求出∠DAG=30°，然后求出∠EAG=∠AGE=60°，从而判断出△AEG是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EG=AE．

解答：（1）解：∵∠BAE=30°，AE⊥BC，
∴AB=2BE=2×2=4，∠B=90°-30°=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∵CF=1，四边形ABCD是平行四边形，
∴DF=CD-CF=AB-CF=4-1=3，
∵AF⊥DC，
∴∠DAF=90°-60°=30°，
又∵∠AEB=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴

AD

AB

=

DF

BE

，
即

AD

4

=

3

2

，
解得AD=6，
∴BC=AD=6，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
又∵AE=

AB2-BE2

=

42-22

=2

3

，
∴△ECD的面积=

1

2

×4×2

3

=4

3

；

（2）∵∠B=60°，
∴∠C=180°-60°=120°，
∵CE=CD=4，
∴∠CDE=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠ADG=∠ADC-∠CDE=60°-30°=30°，
∴∠AGE=∠DAF+∠ADG=30°+30°=60°，
∵∠EAG=（180°-60°）-30°-30°=60°，
∴∠EAG=∠AGE=60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴EG=AE=2

3

．

点评：此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．