Question

如图，直线AB分别x，y轴正半轴相交于A（a，0）和B(0,b)，直线交于y轴与点E，交AB于点F

（1）当a=6，b=6时，求四边形EOAF的面积

（2）若F为线段AB的中点，且AB=时，求证：∠BEF=∠BAO

Answer 1

（1）解：根据题意得：E(0,3)

∵A(6,0)，B（0,6）

求得直线AB的函数关系式是y=－x+6…

直线EF 和直线AB交于点F，方程组的解是

∴F（2,4）

=

=

（2）解：∵F为线段AB的中点，由三角形中位线定理得F（a, b）

又 F在直线EF： 上，

∴×a＋3=b

a=2b-12 ………………………①

又∵AB=

∴a+b=()…… ……② 

∴(2b-12)+ b=80

整理得：5b-48b+64=0

解得b₁=,   b₂=8

当b=时，a<0,不合题意∴b=（舍去）

当b=8时，a=4

∴A（4,0）B(0,8)

∴OE=3,  BE=5

连接EA，在RT△OAE中，OE=3，OA=4，∴EA=5

∴EA=BE=5

∴△BEA是等腰三角形

又F为线段AB的中点

∴EF⊥AB

∴∠BEF=90°－∠EBF

∠BAO=90°－∠OBA                                       

∠EBF=∠OBA