(1)如图1.E.F是正方形ABCD的边AB及DC延长线上的点.且BE=CF.则BG与BC的数量关系是BG=$\frac{1}{2}$BC．(2)如图2.D.E是等腰△ABC的边AB及AC延长线上的点.且BD=CE.连接DE交BC于点F.DG⊥BC交BC于点G.试判断GF与BC的数量关系.并说明理由,(3)如图3.已知矩形ABCD的一条边AD=4.将矩形ABCD沿� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．（1）如图1，E、F是正方形ABCD的边AB及DC延长线上的点，且BE=CF，则BG与BC的数量关系是BG=$\frac{1}{2}$BC．
（2）如图2，D、E是等腰△ABC的边AB及AC延长线上的点，且BD=CE，连接DE交BC于点F，DG⊥BC交BC于点G，试判断GF与BC的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知矩形ABCD的一条边AD=4，将矩形ABCD沿过A的直线折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥PB于点E，且EF=$\sqrt{5}$，试根据上题的结论求出矩形ABCD的面积．

分析（1）根据全等三角形的判定和性质即可得出其关系；
（2）过点E作EH⊥BC，利用全等三角形的判定和性质进行分析证明即可；
（3）由（1）（2）的结论得出EF=$\frac{1}{2}$PB，再利用勾股定理得出AB的长，即可得出面积．

解答解：（1）BG=$\frac{1}{2}$BC，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBG=∠FCG=90°，
在△EBG与△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=CF}\\{∠EBG=∠FCG}\\{∠BGE=∠CGF}\end{array}\right.$，
∴△EBG≌△FCG（AAS），
∴BG=GC=$\frac{1}{2}$BC；
故答案为：BG=$\frac{1}{2}$BC；
（2）GF=$\frac{1}{2}$BC，理由如下：
过点E作EH⊥BC，如图1：

∵等腰△ABC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠ECH，
∴∠B=∠ECH，
在△DBG与△ECH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGB=∠CHE=90°}\\{∠B=∠ECH}\\{DB=CE}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△ECH（AAS），
∴DG=EH，BG=CH，
∴BC=BG+GC=GH=GC+CH，
同理证明△DGF≌△FHE，
∴GF=FH=$\frac{1}{2}$BC；
（3）由（1）（2）得出EF=$\frac{1}{2}$PB=$\sqrt{5}$，
所以PB=2$\sqrt{5}$，
可得PC=$\sqrt{P{B}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{20-16}=2$，
因为将矩形ABCD沿过A的直线折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，
所以AP=AB，
在Rt△ADP中，AP²=AB²=AD²+（AB-PC）²，
即AB²=4²+（AB-2）²，
解得：AB=5．
所以矩形的面积=20．

点评此题主要考查正方形和等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

练习册系列答案

11．在文具店里，王伟买5本笔记本，3支钢笔，老板少拿2元，只要50元．李明买了11本笔记本，5支钢笔，老板以售价的九折优待，只要90元．若笔记本每本x元，钢笔每支y元，则下列能够表示题目中的数量关系的二元一次方程组为（　　）

	A．	$\left\{\begin{array}{l}{5x+3y=50+2}\\{11x+5y=90×0.9}\end{array}\right.$		B．	$\left\{\begin{array}{l}{5x+3y=50+2}\\{0.9（11x+5y）=90}\end{array}\right.$
	C．	$\left\{\begin{array}{l}{5x+3y=50-2}\\{11x+5y=90×0.9}\end{array}\right.$		D．	$\left\{\begin{array}{l}{5x+3y=50-2}\\{0.9（11x+5y）=90}\end{array}\right.$

8．

已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，不等式kx+b＜0的解集是x＞2．