Question

10．如图，一张矩形纸片ABCD中，AD＞AB将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到BC边上的点D′，折痕AE交DC于点E．
（1）试用尺规在图中作出点D′和折痕AE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AD=5，AB=4．
①求ED的长．
②若痕AE上存在一点F，它到点D的距离等于它到边BC的距离，在图中画出这个点，并直接写出FD的长．

Answer 1

分析 （1）以AD长为半径画弧与BC交于点D′，再做出∠DAD′的平分线，即可得出符合要求的图形；
（2）利用勾股定理以及翻折变换性质得出DE=D′E=x，EC=4-x，进而得出即可；
②过D′作CB的垂线交AE于F，根据翻折变换的性质可知，F即为所求，证明△ABG∽△FD′G，根据相似三角形的性质列出比例式，求出FD′的值，得到FD的长．

解答 解：（1）如图所示：
（2）①∵AD=5，AB=4，
∴AD′=5，
∴BD′=$\sqrt{AD{′}^{2}-A{B}^{2}}$=3，
∴CD′=5-3=2，
设DE=D′E=x，
则EC=4-x，
故EC²+D′C²=D′E²，
即（4-x）²+2²=x²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
故ED的长为：$\frac{5}{2}$．
②如图所示，过D′作CB的垂线交AE于F，
由翻折变换的性质可知，DF=FD′，
分别延长AE，BC相交于点G，
∵AD平行于CB，
∴∠DAG=∠AGC，
∵∠DAG=∠D′AG，AGC=∠D′AG，
∴GD′=AD′=AD=5，
∵D′F⊥CB，
∴FD′∥AB，
∴△ABG∽△FD′G，
∵Rt△ABD′中，AD′=5，AB=4，
∴BD′=3，BG=BD′+D′G=3+5=8，
∴△ABG与△FD′G的相似比为8：5，
∴AB：FD′=8：5，
∵AB=4，
∴FD′=2.5，即FD=2.5．

点评 此题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理和基本作图，熟练应用翻折变换图形翻折前后图形不变是解决问题的关键．