Question

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，OP交AB于点D，交⊙O于点C，AD=2

3

，DC=2，求⊙O的半径及PA、PC的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：如图，连接OA、OB．由切线的性质推知AB⊥OP．在直角△AOD中，由勾股定理可以求得OA的长度；然后利用射影定理来求OP的长度，则易求PC的值，在直角△AOP中，利用勾股定理来求PA的长度．

解答：解：如图，连接OA、OB．
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OAP=90°．
又OA=OB，
∴OP垂直平分AB，
∴∠ADO=90°，
∴在直角△AOD中，AD=2

3

，OD=OA-DC=OA-2，
则由勾股定理知，OA²=OD²+AD²，即OA²=（OA-2）²+12，
解得 OA=4，即该圆的半径是4．
∵OA²=OD•OP，OD=OA-DC=2，
∴16=2OP，
解得 OP=8，
∴PC=OP-OA=8-4=4．
在直角△AOP中，由勾股定理知：PA=

OP2-OA2

=4

3

．
综上所述，该圆的半径是4，PA的长度是4

3

，PC的长度是4．

点评：本题考查了切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．