Question

设x₁，x₂是方程x²-2ax+a+6=0的两个实根，求（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：先根据判别式的意义得到△=4a²-4（a+6）≥0，解得a≥3或a≤-2；再根据根与系数的关系得x₁+x₂=2a，x₁•x₂=a+6，然后变形得到（x₁-1）²+（x₂-1）²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂-2（x₁+x₂）+2，所以（x₁-1）²+（x₂-1）²=4a²-6a-10=4（a-

3

4

）²-

49

4

，再利用二次函数的性质求最小值．

解答：解：根据题意得△=4a²-4（a+6）≥0，即a²-a-6≥0，
∴（a-3）（a+2）≥0，
∴a≥3或a≤-2，
∵x₁+x₂=2a，x₁•x₂=a+6，
∴（x₁-1）²+（x₂-1）²=x₁²+x₂²-2（x₁+x₂）+2
=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂-2（x₁+x₂）+2
=4a²-2（a+6）-4a+2
=4a²-6a-10
=4（a-

3

4

）²-

49

4

，
当a=3时，（x₁-1）²+（x₂-1）²=4×（3-

3

4

）²-

49

4

=8，
当a=-2时，（x₁-1）²+（x₂-1）²=4×（-2-

3

4

）²-

49

4

=18，
∴（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值为8．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了根的判别式与二次函数的性质．