Question

4．如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与C重合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 分为0＜x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．

解答 解：如图1所示：当0＜x≤1时，过点D作DE⊥BC′．

∵△ABC和△A′B′C′均为等边三角形，
∴△DBC′为等边三角形．
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
∴y=$\frac{1}{2}$BC′•DE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²．
当x=1时，y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，且抛物线的开口向上．
如图2所示：1＜x≤2时，过点A′作A′E⊥B′C′，垂足为E．

∵y=$\frac{1}{2}$B′C′•A′E=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴函数图象是一条平行与x轴的线段．
如图3所示：2＜x≤3时，过点D作DE⊥B′C，垂足为E．

y=$\frac{1}{2}$B′C•DE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-3）²，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：B．

点评 本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．