Question

20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF=AF+DE；
④当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确．
②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．
③根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可．
④首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．

解答 解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FAD}&{\;}\\{∠AED=∠AFD=90°}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，
∴③正确；
在△AEO和△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}&{\;}\\{∠EAO=∠FAO}&{\;}\\{AO=AO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴④正确．
综上，可得正确的是：②③④．
故选：B．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定、正方形的判定等知识；熟练掌握正方形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．