Question

20．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，sin∠OAB=$\frac{1}{2}$，点A、B分别在反比例函数y₁=$\frac{2}{x}$和y₂=$\frac{k}{x}$的图象上，则k的值是（　　）

• A． -$\frac{2}{3}$
• B． -$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． -2$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作AC⊥x轴，BD⊥x轴．易得△ACO∽△ODB，根据比例式求出BD，OD，可得出点B的坐标，代入y=$\frac{k}{x}$即可求出k的值．

解答 解：如图，作AC⊥x轴，BD⊥x轴．
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵∠OAC+∠AOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△ACO∽△ODB，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OC}{BD}$=$\frac{AC}{OD}$，
∵sin∠OAB=$\frac{1}{2}$，
∴∠OAB=30°，
∴$\frac{OA}{OB}$=tan30°=$\sqrt{3}$，
设A（x，$\frac{2}{x}$）
BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3x}$，
∴B（-$\frac{2\sqrt{3}}{3x}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）
∴k=-$\frac{2\sqrt{3}}{3x}$×$\frac{\sqrt{3}x}{3}$=-$\frac{2}{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．