Question

18．反比例函数y=$\frac{a+4}{x}$的图象如图所示，P、Q为该图象上关于原点对称的两点，分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足分别为A、B．若四边形AQBP的面积大于12，则关于x的方程（a-1）x²-x+$\frac{1}{4}$=0的根的情况是（　　）

• A． 没有实数根
• B． 有两个相等的实数根
• C． 有两个不相等的实数根
• D． 不能确定

Answer 1

分析 根据点P、Q关于原点对称即可得出PA∥QB、OA=OB、AP=BQ，进而即可得出四边形AQBP为平行四边形，再根据平行四边形的面积结合反比例函数系数k的几何意义即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式得出a的取值范围，结合根的判别式即可得出方程（a-1）x²-x+$\frac{1}{4}$=0没有实数根，此题得解．

解答 解：∵P、Q为该图象上关于原点对称的两点，PA⊥y轴，QB⊥y轴，
∴PA∥QB，OA=OB，AP=BQ，
∴四边形AQBP为平行四边形，
∴S_{平行四边形AQBP}=BQ•AB=4×（$\frac{1}{2}$BQ•OB）=4S_△OBQ=2（a+4）＞12，
∴a＞2．
∵在方程（a-1）x²-x+$\frac{1}{4}$=0中，△=（-1）²-4（a-1）×$\frac{1}{4}$=2-a＜0，
∴方程（a-1）x²-x+$\frac{1}{4}$=0没有实数根．
故选A．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、根的判别式以及平行四边形的判定，根据平行四边形的面积结合反比例函数系数k的几何意义得出关于a的一元一次不等式是解题的关键．