题目内容
3．已知，如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点D从A出发沿AC向C点以每秒2个单位速度运动，到C点停止，E点从C点出发沿CB以每秒1个单位的速度运动，到B点停止，两点同时出发，设运动时间为t（秒），△CDE面积为y，
（1）求出y与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（2）求当t为何值时，y最大，并求出最大值；
（3）M是AB中点，当DE⊥MC时，求△DEM的面积．
分析 （1）直接用三角形的面积公式计算即可得出结论；
（2）借助（1）的结论配成顶点式，即可确定出最大值；
（3）先用相似三角形的性质得出t，即求出CD，CD，再用勾股定理求出AB，DE，最后用面积公式即可．
解答 解：（1）由运动得，AD=2t，CE=t，
∵AC=4，
∴CD=4-2t，
∴y=S△CDE=$\frac{1}{2}$CD×CE=$\frac{1}{2}$×（4-2t）×t=-t2+2t（0＜t＜2）；
（2）由（1）知，y=-t2+2t=-（t-1）2+1，
当t=1时，y最大=1；
（3）如图2，
∵M是AB中点，
∴AM=CM=BM，
∴∠A=∠ACM，
∵DE⊥CM，
∴∠ACM+∠CDF=90°，
∴∠A+∠CDF=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠CDF，
∵∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{CE}$，
∵CD=4-2t，CE=t，BC=2，AC=4，
∴$\frac{2}{4-2t}=\frac{4}{t}$，
∴t=$\frac{8}{5}$，
∴CD=$\frac{4}{5}$，CE=$\frac{8}{5}$，
根据勾股定理得，DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
根据面积相等得，CF×DE=CD×CE，
∴CF=$\frac{CD×CE}{DE}$=$\frac{8\sqrt{5}}{25}$，
在Rt△ABC中，AC=4，BC=2，
∴AB=2$\sqrt{5}$，∴
CM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
∴MF=CM-CF=$\sqrt{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{25}$=$\frac{17\sqrt{5}}{25}$，
∴S△DEM=$\frac{1}{2}$DE×MF=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{17\sqrt{5}}{25}$=$\frac{34}{25}$．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，三角形的面积公式，求出时间t是解本题的关键，是一道比较简单的中考常考题．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案| A． | （x-2）（x+2）=0 | B． | -2x2=0 | C． | （x-1）2=0 | D． | （x+1）2+2=0 |
如图，已知AB⊥AC，AB=AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E，试说明DE=DC+BE．
如图，网格中的四边形ABCD是菱形，则sin$\frac{∠BAD}{2}$的值为（ ）| A． | $\frac{3}{4}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | $\frac{5}{3}$ | D． | $\frac{4}{5}$ |
如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则该集贸市场应建在（ ）| A． | AC、BC两边高线的交点处 | B． | AC、BC两边中线的交点处 | ||
| C． | AC、BC两边垂直平分线的交点处 | D． | ∠A、∠B两内角平分线的交点处 |
| A． | 打开电视机，它正在播放广告 | B． | 两个负数相乘，结果是正数 | ||
| C． | 明天会下雨 | D． | 抛一枚硬币，正面朝下 |