Question

18．已知抛物线y=x²与动直线y=tx-c有公共点（x₁，y₁）、（x₂，y₂），且x₁²+x₂²=t²-2t-3．求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 利用抛物线的图象性质可以知道抛物线y=x²的图象开口向上最低点为原点，它与直线有交点则可以联立求解方程有两个实数根，便可一切定出t的取值范围．

解答 解：联立y=x²与y=tx-c，
消去y得二次方程x²-tx+c=0①
有实数根x₁，x₂，则x₁+x₂=t，x₁x₂=c．
所以c=x₁x₂=$\frac{1}{2}$[（x₁+x₂）²-（x₁²+x₂²）]=$\frac{1}{2}$[t²-（t²-2t-3）]=t+$\frac{3}{2}$②
把②式代入方程①得x²-tx+t+$\frac{3}{2}$=0③
t的取值应满足t²-2t-3=x₁²+x₂²≥0，④
且使方程③有实数根，即△=t²-4（t+$\frac{3}{2}$）=t²-4t-6≥0，⑤
解不等式④得t≤-1或t≥3，
解不等式⑤得t≥2+$\sqrt{10}$或t≤2-$\sqrt{10}$．
所以，t的取值范围为t≤2-$\sqrt{10}$或t≥2+$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了二次函数的图象性质，以及二次函数求最值的相关知识，难度较大．