Question

3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0）、C（3，0）、D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax²+bx+c过点C．动点P从点A出发，以每秒$\frac{1}{2}$个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质可以写出点A的坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x-1）²+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值；
（2）利用待定系数法求得直线AC；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标，进一步表示点M，N的坐标，得出面积关于t的二次函数，由二次函数的最值可以求解．

解答 解：（1）A（1，4），
由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4
∵抛物线过点C（3，0），
∴0=a（3-1）²+4，
解得a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；
 
（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵点P（1+$\frac{t}{2}$，4）．
∴将x=1+$\frac{t}{2}$代入y=-2x+6中，解得点N的纵坐标为y=4-t，
∴把x=1+$\frac{t}{2}$，代入抛物线的解析式中，可求点M的纵坐标为4-$\frac{{t}^{2}}{4}$，
∴MN=（4-$\frac{{t}^{2}}{4}$）-（4-t）=t-$\frac{{t}^{2}}{4}$，
又点A到MN的距离为 $\frac{t}{2}$，C到MN的距离为2-$\frac{t}{2}$，
即S_△ACM=S_△AMN+S_△CMN=$\frac{1}{2}$×MN×$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2}$×MN×（2-$\frac{t}{2}$）
=$\frac{1}{2}$×2（t-$\frac{{t}^{2}}{4}$）=-$\frac{1}{4}$（t-2）²+1．
当t=2时，S_△ACM的最大值为1．

点评 此题考查的是利用待定系数法求二次函数的解析式，熟知用顶点式求抛物线的解析式，会设点并表示三角形面积是解题的关键．