Question

如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP； ④S_△ABC=S_{四边形AOCP}，其中正确的有（　　）

• A、②③
• B、①②④
• C、③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP，即可解题；
②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；
③AB上找到Q点使得AQ=OA，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ，即可解题；
④作CH⊥CD，可证△CDO≌△CHP和RT△ABD≌RT△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．

解答：解：如图，

①连接OB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD是BC垂直平分线，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，
∵∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°．故①正确；
②∵△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，
∴∠POC=2∠ABD=60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO=∠PAO=120°，
在△BQO和△PAO中，

∠BQO=∠PAO ∠ABO=∠APO OB=OP

，
∴△BQO≌△PAO（AAS），
∴PA=BQ，
∵AB=BQ+AQ，
∴AC=AO+AP，故③正确；
④作CH⊥CD，

∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
在△CDO和△CHP中，

∠ODC=∠PHC=90° ∠OCD=∠PCH OC=CP(等边三角形边长相等)

，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S_△OCD=S_△CHP
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在RT△ABD和RT△ACH中，

AB=AC BD=CH

，
∴RT△ABD≌RT△ACH（HL），
∴S_△ABD=S_△AHC，
∵四边形OAPC面积=S_△OAC+S_△AHC+S_△CHP，S_△ABC=S_△AOC+S_△ABD+S_△OCD
∴四边形OAPC面积=S_△ABC．故④正确．
故选 D．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BQO≌△PAO是解题的关键．