Question

9．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE与AB、AG与CD的交点．     
（1）试说明四边形AECG是平行四边形；
（2）若矩形的一边AB的长为6cm，当BC的长为多少时，四边形AECG是菱形？

Answer 1

分析 （1）因为对折，所以∠GAH=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCA，又因为∠GAH=∠ECF，可得AG∥CE，即可得出四边形AECG是平行四边形；
（2）由菱形的定义知可知F，H两点重合，可得出AC=2BC，由此可计算边BC的长．

解答 解：（1）由题意，得∠GAH=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE，
又∵AE∥CG
∴四边形AECG是平行四边形；

（2）∵四边形AECG是菱形，
∴F、H重合，
∴AC=2BC，在Rt△ABC中，设BC=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中AC²=AB²+BC²，
即（2x）²=6²+x²，
解得x=2$\sqrt{3}$（x=-2$\sqrt{3}$舍去），
即线段BC的长为2$\sqrt{3}$cm．

点评 本题考查了翻折变换、平行四边形对的判定、菱形的判定，是一道比较综合的题，难度适中，包含的知识点较多，关键灵活运用矩形的性质．