Question

3．一个口袋中装有分别标有-2，-$\frac{1}{3}$，1，2，3五个数的完全相同的小球，搅匀后从中摸出一个小球，将小球上的数记为a，则使得关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{5x-3a≥3（x+a）+4}\\{2a-x≥2x-4（a+1）-5}\end{array}\right.$有解且关于x的函数y=（a-1）x²+2$\sqrt{3}$x+a+1与x轴有且只有一个交点的概率是$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 由关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{5x-3a≥3（x+a）+4}\\{2a-x≥2x-4（a+1）-5}\end{array}\right.$有解，可得a≤1，由关于x的函数y=（a-1）x²+2$\sqrt{3}$x+a+1与x轴有且只有一个交点，可得a=±2，继而利用概率公式即可求得答案．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{5x-3a≥3（x+a）+4①}\\{2a-x≥2x-4（a+1）-5②}\end{array}\right.$，
由①得：x≥3a+2，
由②得：x≤2a+3，
∴当3a+2≤2a+3，即a≤1时，关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{5x-3a≥3（x+a）+4}\\{2a-x≥2x-4（a+1）-5}\end{array}\right.$有解；
∵y=（a-1）x²+2$\sqrt{3}$x+a+1与x轴有且只有一个交点，
∴△=（2$\sqrt{3}$）²-4（a-1）（a+1）=16-4a²=0，
解得：a=±2，
∴使得关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{5x-3a≥3（x+a）+4}\\{2a-x≥2x-4（a+1）-5}\end{array}\right.$有解且关于x的函数y=（a-1）x²+2$\sqrt{3}$x+a+1与x轴有且只有一个交点的是：-2；
∴使得关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{5x-3a≥3（x+a）+4}\\{2a-x≥2x-4（a+1）-5}\end{array}\right.$有解且关于x的函数y=（a-1）x²+2$\sqrt{3}$x+a+1与x轴有且只有一个交点的概率是：$\frac{1}{5}$．
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集与二次函数的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．