Question

10．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．
（1）求证：∠BME=∠MAB；
（2）求证：BM²=BE•AB；
（3）若BE=$\frac{18}{5}$，sin∠BAM=$\frac{3}{5}$，求线段AM的长．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质得出∠BME+∠OMB=90°，再由直径得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判断出结论；
（2）由（1）得出的结论和直角，判断出△BME∽△BAM，即可得出结论，
（3）先在Rt△BEM中，用三角函数求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函数和勾股定理计算即可．

解答 解：（1）如图，连接OM，
∵直线CD切⊙O于点M，
∴∠OMD=90°，
∴∠BME+∠OMB=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°．
∴∠AMO+∠OMB=90°，
∴∠BME=∠AMO，
∵OA=OM，
∴∠MAB=∠AMO，
∴∠BME=∠MAB；
（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，
∵BE⊥CD，
∴∠BEM=∠AMB=90°，
∴△BME∽△BAM，
∴$\frac{BM}{AB}=\frac{BE}{BM}$，
∴BM²=BE•AB；
（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，
∵sin∠BAM=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BME=$\frac{3}{5}$，
在Rt△BEM中，BE=$\frac{18}{5}$，
∴sin∠BME=$\frac{BE}{BM}$=$\frac{3}{5}$，
∴BM=6，
在Rt△ABM中，sin∠BAM=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BAM=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{5}{3}$BM=10，
根据勾股定理得，AM=8．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直径，相似三角形的性质和判定，三角函数，解本题的关键是判断出，△BME∽△BAM．