Question

如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a₃，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a₄，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为a_n（n≥3）．
（1）求a₈的值；
（2）当n=999时，求

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

+…+

1

an

的值．

Answer 1

分析：（1）观察可得边数与扩展的正n边形的关系为n×（n+1），把n=8代入求解即可；
（2）根据

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

求解即可．

解答：解：（1）n=3时，边数为3×4=12；
n=4时，边数为4×5=20；
…
n=8时，边数为8×9=72；
∴a₈=72；
（2）当n=999时，原式=

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

999×1000

=

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

999

-

1

1000

=

997

3000

．

点评：考查图形的规律性及规律性的应用；得到边数与扩展的正n边形的关系是解决本题的突破点；根据

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

求解是解决本题的难点．