Question

（本题满分10分）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系，下面我们就来研究其中的几种位置关系中角所存在的几种数量关系．

（1）问题探究1：

如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠D=∠BOD，又因为∠BOD是△POB的外角，故∠BOD=∠BPD +∠B，得∠BPD=∠D -∠B．

将点P移到AB、CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）问题探究2：在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD延长线于点Q，如图③，则∠BPD﹑∠B﹑∠PDQ﹑∠BQD之间有何数量关系？请证明你的结论；

（3）根据（2）的结论直接写出图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

Answer 1

（1）∠B+∠BPD+∠D=360°；（2）∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD；（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360．

【解析】

试题分析：（1）过点p作PE∥AB，根据平行线的性质的∠B+∠BPE=180°，∠D+∠EPD=180°，所以∠B +∠BPE+∠D +∠EPD=360°，即∠B+∠BPD+∠D=360°；

（2）连接QP并延长至E，根据三角形的外角的性质，可得∠BPE=∠BQP+∠B，∠EPD=∠DQP+∠PDQ，所以∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ，即：∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD；

（3）根据三角形的外角的性质，把这几个角转换到一个四边形中，即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360．

试题解析： （1）上述结论不成立，理由如下：

过点p作PE∥AB，

∴∠B+∠BPE=180°，

又∵AB∥CD，

∴PE∥CD，

∴∠D+∠EPD=180°，

∴∠B +∠BPE+∠D +∠EPD=360°，

即∠B+∠BPD+∠D=360°；

（2）∠BPD=∠B+∠PDQ +∠BQD，理由如下：

连接QP并延长至E，

∵∠BPE是△BPQ的一个外角，

∴∠BPE=∠BQP+∠B，

同理：∠EPD=∠DQP+∠PDQ，

∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ，

即：∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD ；

（3） ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360．

考点：1、平行线的性质；2、三角形的外角的性质．