Question

7．如图，已知直线y=kx与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于A、B两点，过点A作AC垂直于x轴，垂足为C，且S_△AOC=$\frac{1}{2}$．过原点O作AB的垂线交AC的延长线于点D，则△ABD的内切圆半径长等于2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由S_△AOC=$\frac{1}{2}$，根据反比例函数k的几何意义，可求得k的值，继而求得A与B的坐标，然后由过原点O作AB的垂线交AC的延长线于点D，可得△ABD是等腰直角三角形，且可求得各边长，再利用三角形内切圆的性质，即可求得答案．

解答 解：∵AC⊥x轴于点C，且S_△AOC=$\frac{1}{2}$，
∴k=2S_△AOC=1，
∴直线的解析式为：y=x，双曲线的解析式为：y=$\frac{1}{x}$，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴点A（1，1），点B（-1，-1），
∴∠AOC=45°，
∵OD⊥AB，
∴∠COD=45°，
∴CD=OC=1，
∴点D（1，-1），
∴AD=BD=2，∠ADB=90°，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
如图，设△ABD的内切圆半径长为r，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$（AB+AD+BD）•r=$\frac{1}{2}$AB•AD，
即（AB+AD+BD）•r=AB•AD，
∴（2+2+2$\sqrt{2}$）•r=2×2，
解得：r=2-$\sqrt{2}$．
故答案为：2-$\sqrt{2}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形内切圆的性质．注意得到△ABD是等腰直角三角形是关键．