Question

12．从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的黄金分割线．
（1）求这个顶点对应角的度数；
（2）如图，已知黄金分割线CD=1，求BD的长；
（3）试求sin72°的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，运用三角形内角和定理，即可得到顶点对应角的度数；
（2）根据△CBD∽△ABC，得到$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{AB}$，再设BD=x，则$\frac{x}{1}$=$\frac{1}{x+1}$，即x²+x+1=0，即可解得x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，进而得到BD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
（3）过点C作CE⊥AB交AB于点E，根据等腰三角形的性质可得BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得CE=$\sqrt{C{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$，最后在Rt△BCE中，求得sin72°=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$．

解答 解：（1）符合条件的三角形可画出如下三种：

如图①，△BCD∽△BAC，△ACD是等腰三角形，
设∠A=∠ACD=α，则∠BDC=∠B=2α，∠BCD=α，
∵△BCD的内角和等于180°，
∴5α=180°，即α=36°，
∴∠ACB=72°；
如图②，△CAD∽△CBA，△BAD是等腰三角形，
设∠C=∠CAD=α，则∠ADB=∠DAB=2α，∠B=α，
∵△ADB的内角和等于180°，
∴5α=180°，即α=36°，
∴∠CAB=3α=108°；
如图③，△CAD∽△CBA，△BAD是等腰三角形，
设∠C=∠B=∠CAD=α，则∠ADB=2α，∠DAB=α，
∵△ADB的内角和等于180°，
∴4α=180°，即α=45°，
∴∠BAD=2α=90°，
综上所述，这个顶点对应角的度数分别为72°，108°，90°；

（2）由题意知，△CBD∽△ABC，

∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{AB}$，
设BD=x，则
$\frac{x}{1}$=$\frac{1}{x+1}$，即x²+x+1=0，
解得x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；

（3）如图所示，过点C作CE⊥AB交AB于点E，

则BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，
∴Rt△BCE中，CE=$\sqrt{C{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}-1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$，
∴Rt△BCE中，sin72°=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，黄金分割以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意分类思想的运用．解决问题的关键是画出图形，依据等腰三角形和相似三角形的性质进行求解．