Question

17．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A₁B₁C．
（1）当点 B₁恰好在线段BA 的延长线上时，
①求证：BB₁∥CA₁；
②求△AB₁C的面积；
（2）如图2，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点．在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F₁．求线段EF₁长度的最大值与最小值的差．

Answer 1

分析 （1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答；
（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F₁，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F₁，得出最大和最小值解答即可．

解答 解：（1）①证明：∵AB=AC，B₁C=BC，
∴∠AB₁C=∠B，∠B=∠ACB，
∵∠AB₁C=∠ACB（旋转角相等），
∴∠B₁CA₁=∠AB₁C，
∴BB₁∥CA₁；

②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图1：
∵AB=AC，AF⊥BC，BC=6，
∴BF=CF=3，
∴B₁C=BC=6，
可得：B₁B=2BE，
∵EC=$\frac{{2S}_{△ABC}}{AB}$=$\frac{24}{5}$，
∴BE=$\frac{18}{5}$，则BB₁=$\frac{36}{5}$，
故AB₁=$\frac{36}{5}$-5=$\frac{11}{5}$，
∴△AB₁C的面积为：$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{5}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{132}{25}$；

（2）如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F₁，EF₁有最小值，

此时在Rt△BFC中，CF=$\frac{24}{5}$，
∴CF₁=$\frac{24}{5}$，
∴EF₁的最小值为$\frac{24}{5}$-3=$\frac{9}{5}$；
如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F₁，EF₁有最大值；
此时EF₁=EC+CF₁=3+6=9，
∴线段EF₁的最大值与最小值的差为9-$\frac{9}{5}$=$\frac{36}{5}$．

点评 此题考查了几何变换问题，关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答．