Question

7．如图（1）所示，矩形ABCD中AC与BD交于O点，且P点为AD中点，PE⊥OA，PF⊥OD，AB=6cm，AD=8cm．
（1）求出PE和PF的值；（提示：连接OP，利用中位线和面积来求）
（2）若P点是AD边上任一点，其它条件不变，如图（2），求出PE+PF的值．

Answer 1

分析 （1）连接OP，由矩形的性质和勾股定理求出AC，证出OP是△ACD的中位线，得出OP∥CD，OP=$\frac{1}{2}$CD=3cm，△AOD的面积=$\frac{1}{2}$AD×OP，△AOD的面积=△OAP的面积+△ODP的面积=$\frac{1}{2}$OA×PE+$\frac{1}{2}$OD×PF=$\frac{1}{2}$（PE+PF）×OA，即可得出PE和PF的值；
（2）连接OP，△AOD的面积=△OAP的面积+△ODP的面积=$\frac{1}{2}$（PE+PF）×OA=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面积，即可得出结果．

解答 就：（1）连接OP，如图（1）所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，CD=AB=6cm，OA=OC=OB=OD，AC=BD，
∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm），
∴OA=OD=5cm，
∵P点为AD中点，
∴OP是△ACD的中位线，
∴OP∥CD，OP=$\frac{1}{2}$CD=3cm，
∴∠OPD=90°，
∴OP⊥AD，
∴△AOD的面积=$\frac{1}{2}$AD×OP=$\frac{1}{2}$×8×3=12（cm²），
又∵△AOD的面积=△OAP的面积+△ODP的面积=$\frac{1}{2}$OA×PE+$\frac{1}{2}$OD×PF=$\frac{1}{2}$（PE+PF）×5=12，
∴PE+PF=$\frac{24}{5}$（cm）；
（2）连接OP，如图（2）所示：
∵△AOD的面积=△OAP的面积+△ODP的面积=$\frac{1}{2}$OA×PE+$\frac{1}{2}$OD×PF=$\frac{1}{2}$（PE+PF）×OA=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面积=$\frac{1}{4}$×8×6=12，
∴PE+PF=$\frac{24}{5}$cm，

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．