Question

4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）请直接写出BD=20；AB=13；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）是否存在时刻t，使得点P、Q关于BD对称？若存在，请你直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得出BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=20，AB=$\sqrt{C{D}^{2}+（AD-BC）^{2}}$=13；
（2）以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB=PQ时，当PQ=BQ时，当BP=BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论；
（3）点P、Q关于BD对称，也就是BP=BQ，由（2）的计算直接判定即可．

解答 解：（1）BD=20，AB=13；
（2）如图，

过P作PM⊥BC于M，由图可知：CM=PD=2t，CQ=t，
若以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12²，
由PQ²=BQ²，得t²+12²=（16-t）²，解得t=$\frac{7}{2}$；
②若PB=PQ，由PB²=PQ²，得（16-2t）²+12²=t²+12²，
整理，得3t²-64t+256=0，
解得，t=$\frac{16}{3}$，t₂=16（不合题意，舍去），
③若BP=BQ，在Rt△PMB中，BP²=（16-2t）²+12²，
由BP²=BQ²，得（16-2t）²+12²=（16-t）²，即3t²-32t+144=0，
∵△=-704＜0，
∴3t²-32t+144=0无解，
∴BP≠BQ；
综合上面的讨论可知：当t=$\frac{7}{2}$或$\frac{16}{3}$时，
以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；

（3）不存在点P、Q关于BD对称．
理由∵P、Q关于BD对称，
∴BD垂直平分PQ，
则BP=BQ，
在Rt△PMB中，BP²=（16-2t）²+12²，
由BP²=BQ²，得（16-2t）²+12²=（16-t）²，即3t²-32t+144=0，
∵△=-704＜0，
∴3t²-32t+144=0无解，
∴BP≠BQ，
∴不存在点P、Q关于BD对称．

点评 此题考查四边形的综合题，有关梯形的问题可以通过作高线可以转化为直角三角形与矩形的问题．并且要理解以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，应分①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．三种情况进行讨论．