Question

已知抛物线y=a（x-1）（x+

3

a

）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，求a的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：对于抛物线解析式，分别令x与y为0，求出y与x的值，确定出A，B，以及C坐标，进而表示出AB，AC，BC的长，分AB=AC，AB=BC，AC=BC三种情况考虑，求出a的值即可．

解答：解：对于抛物线解析式y=a（x-1）（x+

3

a

），
令y=0，得到a（x-1）（x+

3

a

）=0，
解得：x=1或x=-

3

a

，即A（1，0），B（-

3

a

，0），
令x=0，得到y=-3，即C（0，-3），
∴AC=

(1-0)2+(0+3)2

=

10

，
若AB=AC=

10

时，△ABC为等腰三角形，此时|1+

3

a

|=

10

，
解得：a=

10 +1

3

或a=

1- 10

3

；
若BC=AC=

10

时，△ABC为等腰三角形，此时

( 3 a )2+(-3)2

=

10

，
解得：a=3或a=-3（舍去）；
当AB=BC时，△ABC为等腰三角形，此时|1+

3

a

|=

( 3 a )2+(-3)2

，
解得：a=

3

4

，
综上，a的值为

1± 10

3

或3或

3

4

．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清题意是解本题的关键．