Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，顶点为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，先将抛物线向上平移使其顶点在原点，再将其顶点沿直线平移得到抛物线，设抛物线与直线交于、两点，求线段的长.

（3）在图1中将抛物线绕点旋转后得到抛物线，直线总经过一个定点，若过定点的直线与抛物线只有一个公共点，求直线的解析式.

 

Answer 1

（1）y=x2－1；（2）CD=；（3）过定点M，共有三条直线l： x=2 或y=x+4或y=x+4+，它们分别与抛物线C3只有一个公共点

【解析】

试题分析：（1）y=x2－1

（2）可设抛物线C2的顶点为（m, m）,

依题意抛物线C2 为 ，

与直线y=x联立解方程组得：x1=m,y1=m; x2=m+,1,y2=m+1.

即C(m, m), D(m+1, m+1 )

过点C作CH∥x轴，过点D作DN∥y轴，CH交DN于点M，

∴CM=1,DM=1, ∴CD=.

(3)依题意可求出抛物线C3的解析式为+1

直线=k(x-2)+4, ∴定点M为（2, 4）

①经过定点M，与y轴平行的直线l:x=2与抛物线C3总有一个公共点（2,1）.

②经过定点M的直线l为一次函数 （k≠0）的图象,

与+1联立方程组，消去y得x2-4x+3+kx-2k+4=0

即x2-（4-k）x+7 -2k=0, △=k2-12=0，得k1=, k2=

∴y=x+4或y=x+4+

综上所述，过定点M，共有三条直线l： x=2 或y=x+4或y=x+4+，它们分别与抛物线C3只有一个公共点.

考点: 抛物线的综合运用