Question

14．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，kb+a）（k为常数，k≠0），则称点P′和点P的“k交融点”，例如：P（1，4）的“2的交融点”为P′（2×1+4，2×4+1），即P′（6，9）
（1）①点P（-1，-2）的“2的交融点”P′的坐标为（-4，-5）
②若点P的“3的交融点”为P′（3，3），求点P的坐标．
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k交融点”为P′点，且△OPP′为等腰三角形，则k的值为$\frac{1}{2}$或1
（3）点Q的坐标为（0，4$\sqrt{3}$），点A在函数y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x的图象上，且点A是点B的“$\sqrt{3}$交融点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．

Answer 1

分析 （1）依据“交融点”的定义直接进行计算即可；②设点P的坐标为（x，y），然后依据“交融点”的定义得到关于x、y的方程，从而可求得x、y的值；
（2）设点P的坐标为（m，0），则P′（mk，m）且m＞0，分为OP=OP′、OP′=P′P、OP=P′P三种情况，结合两点间的距离公式列方程求解即可；
（3）设点B的坐标为（x，y），A（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），依据“交融点”的定义得到关于x、y的方程然后消去参数a的y与x的函数关系式，依据垂线段最短的性质可知：当QB⊥直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x时，QB有最小值，然后求得BQ的解析式，最后求得两一次函数的交点从而可求得点B的坐标．

解答 解：（1）①∵-1×2+（-2）=-4，-2×2+（-1）=-5，
∴P′的坐标为（-4，-5）．
故答案为：（-4，-5）．
②设点P的坐标为（x，y），
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=3}\\{3y+x=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）．
（2）设点P的坐标为（m，0），则P′（mk，m）．
∵点P在x轴的正半轴上，
∴m＞0．
当OP=OP′时，由两点间的距离公式可知：m²=m²k²+m²，
解得：k=0（舍去）．
当OP′=P′P时，由两点间的距离公式可知：m²k²+m²=（mk-m）²+m²．
解得；k=$\frac{1}{2}$．
当OP=P′P时，由两点间的距离公式可知：m²=（mk-m）²+m²．
解得：k=1．
综上所述，k的值为$\frac{1}{2}$或1．
故答案为：$\frac{1}{2}$或1．
设点B的坐标为（x，y），A（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）．
∵点A是点B的“$\sqrt{3}$交融点”，
∴$\sqrt{3}$x+y=a，$\sqrt{3}$y+x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
∴$\sqrt{3}$y+x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\sqrt{3}$x+y），整理得：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∴点B在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上．
如图所示：过点Q作QB⊥直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，垂足为B．

∵QB⊥OB，
∴QB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$．
将y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$与y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$，解得：x=3，y=$\sqrt{3}$
∴点B的坐标为（3，$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了“交融点”的定义、两点间的距离公式、垂线段最短的性质、一次函数的交点坐标等知识点，求得点B所在直线的函数解析式是解题的关键．