Question

3．抛物线y=mx²-4mx+3与x轴的交点为A（1，0），B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线第一象限上的一点，若∠PAB=2∠ACO，求点P的坐标；
（3）M为抛物线在点B右侧上的一点，M与N两点关于抛物线的对称轴对称，AN，AM交y轴于E，D，求OE-OD的值．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y=mx²-4mx+3中求出m的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先确定C（0，3），则利用勾股定理计算出AC=$\sqrt{10}$，取AC的中点Q，作OH⊥AC于H，PK⊥x轴于K，如图1，设P（x，x²-4x+3），利用直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理和面积法求出OQ=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，OH=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，HQ=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，再证明△PAK∽△OQH，然后利用相似比得到关于x的方程，再解方程求出x即可得到P点坐标；
（3）设M（t，t²-4t+3），利用对称性得到N（4-t，t²-4t+3），再利用待定系数法分别求出直线AM的解析式为y=（t-3）x+3-t和直线AN的解析式为y=（1-t）x+t-1，从而得到D点和E点坐标，然后可计算出OE-OD的值．

解答 解：（1）把A（1，0）代入y=mx²-4mx+3得m-4m+3=0，解得m=1，
所以抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）当x=0时，y=x²-4x+3=3，则C（0，3），
AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
取AC的中点Q，作OH⊥AC于H，PK⊥x轴于K，如图1，设P（x，x²-4x+3），
∴OQ=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$OH•AC=$\frac{1}{2}$•OA•OC，
∴OH=$\frac{1×3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴HQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∵CQ为斜边AC上的中线，
∴QC=QO，
∴∠QCO=∠QOC，
∴∠OQH=∠QCO+∠QOC=2∠QCO，
∵∠PAB=2∠ACO，
∴∠OQH=∠PAB，
∴△PAK∽△OQH，
∴PK：OH=AK：QH，即（x²-4x+3）：$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=（x-1）：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
整理得4x²-19x+15=0，解得x₁=1，x₂=$\frac{15}{4}$，
∴P（$\frac{15}{4}$，$\frac{33}{16}$）；

（3）设M（t，t²-4t+3），
∵M与N两点关于抛物线的对称轴对称，
∴N（4-t，t²-4t+3），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
把A（1，0），M（t，t²-4t+3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{kt+b={t}^{2}-4t+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=t-3}\\{b=3-t}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为y=（t-3）x+3-t，
∴D（0，3-t），
同样可得直线AN的解析式为y=（1-t）x+t-1，
∴E（0，t-1），
∴OE-OD=t-1-（t-3）=2．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和直角三角形斜边上的中线性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；理解坐标与图形的性质．在（2）中构建△PAK∽△OQH是解决问题的关键．