Question

5．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=45°，AB=BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）AB=2，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）先利用AB=CB得到∠C=∠BAC=45°，则利用三角形内角和定理得到∠ABC=90°，然后根据切线的判定定理可判断BC是⊙O的切线；
（2）设AC交⊙O于D，连结BD，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则可判断△ADB、△BDC都是等腰直角三角形，所以AD=BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$，然后利用弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=S_△BCD．

解答 （1）证明：∵AB=CB，
∴∠C=∠BAC=45°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
而AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设AC交⊙O于D，连结BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
而∠BAC=45°，
∴△ADB、△BDC都是等腰直角三角形，
∴AD=BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，
∴阴影部分的面积=S_△BCD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积．