Question

如图，抛物线y=ax²+2与y轴交于点A，抛物线上的一点P在第四象限，连接AP与x轴交于点C，

AC

CP

=

1

2

，且S_△AOC=1，过点P作PB⊥y轴于点B．
（1）求BP的长
（2）求抛物线与x轴交点坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）利用相似三角形的判定与性质得出△AOC∽△ABP，进而求出即可；
（2）由（1）得出P点坐标，再利用待定系数法求出a的值，进而得出图象与x轴交点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+2与y轴交于点A，
∴A（0，2），
∵S_△AOC=1，
∴CO=1，
∵CO∥BP，
∴△AOC∽△ABP，
∵

AC

CP

=

1

2

，
∴

AC

AP

=

1

3

，
∴

AO

AB

=

CO

BP

=

1

3

，
∴BP=3，BO=4；

（2）由（1）得：P（3，-4），
将P（3，-4）代入y=ax²+2得：
-4=9a+2，
解得：a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

x²+2，
当y=0，则0=-

2

3

x²+2，
解得：x₁=

3

，x₂=-

3

，
故抛物线与x轴交点坐标为：（-

3

，0），（

3

，0）．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点求法以及相似三角形的判定与性质等知识，得出P点坐标是解题关键．